Imagine agora que você chegou na portaria e pediu um quarto, mas o atendente diz “os quartos estão todos ocupados”. Depois de uma pausa, ele tem uma ideia “já sei, eu vou colocar os hóspedes do quarto 1 para o quarto 2!”. E assim ele faz, movendo os hóspedes do quarto 2 para o quarto 3, do quarto 3 para o quarto 4… Um número infinito de hóspedes sendo empurrados mais fundo em um número infinito de quartos.

Mas agora há dois conjuntos infinitos: o primeiro era o hotel antes de você chegar, com infinitos hóspedes e infinitos quartos. Agora tem o mesmo número de hóspedes, mais você. Mas isto é infinito mais um? Qual é maior? Os dois são iguais?

Este é mais um problema de moralidade: as necessidades de um são mais importantes que as necessidades de muitos? Imagine que você testemunhe um bonde que está avançando em direção a um muro. Você está no lugar certo e na hora certa para mover uma chave que desvia o bonde para outros trilhos. O problema é que tem um homem em pé naqueles outros trilhos, e você não tem como avisá-lo.

Você move a chave e deixa ele morrer, ou fica parado e não faz nada, só olhando os passageiros do bonde morrerem? E se não houver uma chave, mas sim um homem grande o suficiente para parar o bonde se você empurrá-lo na frente do veículo? Por estranho que pareça, uma quantia surpreendente de pessoas acha que não há problemas em mover a chave, mas ao mesmo tempo não suportam a ideia de empurrar o homem, apesar das duas alções resultarem na mesma coisa – a morte de uma pessoa por causa de nossas ações.

Este dilema moral tem fascinado tanto a humanidade que permeia praticamente todas as histórias que contamos. É um dos pontos principais do filme Star Trek II: A Ira de Kahn, e é uma das principais justificativas dos homens que lançaram a Bomba Atômica.

Imagine que você tem uma trombeta, mas não uma trombeta qualquer. Em vez de terminar em um bocal, o lado mais estreito da trombeta se estende ao infinito. Ele nunca termina e fica cada vez menor. Não é preciso saber muita matemática para ver que o lado de dentro da trombeta tem uma superfície infinita.

Agora suponha que você quer pintar o lado de dentro da trombeta. Qual será o melhor método? Quando ela ficar muito estreita, você não vai poder usar um pincel. Talvez seja uma boa ideia derramar a tinta dentro da corneta, assim ela escorre até os lugares que nosso pincel não alcança. Mas quanta tinta vamos precisar?

Surpreendentemente, a corneta, mesmo se estendendo infinitamente, e tendo uma superfície interna infinita, tem um volume finito, e dá para calcular quanta tinta precisamos para preencher toda a corneta. E este é o paradoxo.

Nenhum barco pode navegar para sempre; eventualmentem alguma coisa vai quebrar, apodrecer ou estragar. No barco de Teseu, sempre que uma peça estraga ou quebra, é trocada por outra idêntica, porém nova. Com o passar do tempo, todas as peças do barco acabam estragando e sendo substituídas desta forma. Quando a última peça é substituída, ele ainda é o mesmo barco? Se não, em que ponto ele se torna outro barco?

Se você achar que é o mesmo barco, vamos dar uma esticada no nosso cenário. Imagine que, depois disto tudo feito e temos nosso “novo” barco de Teseu, nós navegamos por todos os mares em busca das peças originais. Todas elas são localizadas, recuperadas, renovadas, e montadas na forma de um barco, como era antes. Agora temos dois barcos idênticos. Qual deles é o barco de Teseu?

Para entender o paradoxo do bartender, veja história curta de Robert Henlein, “All You Zombies“. Se você está com preguiça de ler uma história de 13 páginas ou não sabe inglês, aí vai a versão resumida: Jane é uma moça que cresceu em um orfanato e nunca conheceu seus pais. Um dia ela se apaixona por um andarilho, que a engravida e some. Quando chega o dia do nascimento da criança, os médicos descobrem que Jane tem um defeito de nascença raro – ela é hermafrodita. Para salvá-la, eles precisam convertê-la em homem. Quando ela acorda da cirurgia, descobre que sua filha foi roubada da enfermaria.

Incapaz de suportar a perda do amante e da filha, Jane (que agora é um homem) entra em depressão e se torna um andarilho. Um dia, ele entra em um bar e conta sua história para um bartender que é estranhamente compreensivo. Ele diz que pode ajudá-la, mas Jane tem que se tornar membro do Corpo de Viajantes do Tempo. Jane concorda, e entra com ele em uma máquina do tempo.

Voltando para o passado, Jane se apaixona por uma menina órfã e, depois de pouco tempo, engravida-a. Enquanto isto está acontecendo, o bartender viaja 9 meses no futuro, e rouba o bebê da enfermaria, voltando para o passado 18 anos e abandonando-o na porta de um orfanato. Então, os dois retornam para o presente, e Jane se torna um membro do Corpo de Viajantes do Tempo. Alguns anos adiante no futuro, ela se disfarça de bartender e viaja para o passado, para um importante encontro com um andarilho solitário.

O que tudo isto significa? Jane, o andarilho, a filha dela, e o bartender são a mesma pessoa. Uma família bastante confusa.

O Problema de Newcomb, às vezes chamado de Paradoxo de Newcomb, começa com um jogo. Existem duas caixas na sua frente, a Caixa A e a Caixa B. A Caixa A é transparente, e tem US$1.000. A caixa B é opaca e pode conter US$1 milhão ou estar vazia. Há uma entidade, chamada de Preditor, que vai predizer qual caixa você vai escolher, e ele é considerado infalível. Quando o jogo começa, a predição já foi feita, e o conteúdo da Caixa B é alterada de acordo com esta predição. Você então recebe a instrução de escolher só a Caixa B ou as duas caixas.

Se o Preditor previu que você vai pegar as duas, então a Caixa B está vazia. Se o Preditor escolher a Caixa B, então ela tem US$ 1 milhão. Ao contrário do que você possa pensar, pegar a Caixa B é sempre a escolha correta.

Isto por que o Preditor está sempre certo. Se você vai escolher a Caixa B, podemos ignorar a possibilidade de estar vazia, por que o Preditor teria então feito uma predição incorreta (a de que você pegaria as duas caixas). Como ele é infalível, você pega só a Caixa B e então vai embolsar US$ 1 milhão toda vez.

Por que isto seria um paradoxo? Por que você poderia pensar assim: pegar as duas caixas sempre vai resultar em você ganhando dinheiro. Ganhar só US$ 1 milhão está fora de questão, assim como zero. Você definitivamente vai obter US$ 1.000 ou US$1.001.000. E existem argumentos à favor das duas escolhas.

O infinito parece render infinitas discussões. Este experimento mental assume que temos um número infinito de macacos datilografando aleatoriamente em uma quantidade infinita de teclados durante um tempo infinito.

Como o infinito é infinitamente infinito, a probabilidade destes macacos eventualmente digitarem as obras completas de Shakespeare é de 100%. Isto por que qualquer história é apenas uma longa carreira de caracteres, e apesar da probabilidade de alguém a digitar aleatoriamente ser muito pequena, não é zero; assim, dado um período infinito de tempo, irá ocorrer. Infelizmente, o mesmo vai valer para os Cinquenta Tons de Cinza.

Mas isto não significa necessariamente que irá acontecer rapidamente. Alguns matemáticos teorizam de que vai levar mais tempo para obter uma cópia sem erros do quea idade atual do universo.

O Paradoxo dos Gêmeos gerou um dos maiores debates em torno da Teoria da Relatividade de Einstein. No paradoxo, começamos com dois gêmeos idênticos. Um deles viaja de foguete a velocidades próximas à da luz, enquanto o outro permanece na Terra, aguardando o retorno do seu irmão.

Da perspectiva do gêmeo que ficou na Terra, o tempo se move mais lentamente na espaçonave por causa de sua alta velocidade. Se a viagem de ida e volta tomar 5 anos no relógio da nave, e for feita a 99,9% da velocidade da luz, 100 anos terão se passado na Terra, e o gêmeo que ficou na Terra provavelmente terá morrido de velhice, enquanto seu irmão gêmeo terá envelhecido apenas 5 anos.

Imagine que um ricaço te aborde com uma garrafa de um produto tóxico qualquer, um veneno capaz de te causar dor por um dia inteiro, mas que não te mataria – você se recuperaria totalmente.

O ricaço diz que se você tiver ao fim do dia a intenção de beber o veneno na tarde seguinte, ele lhe dará um milhão de dólares. O dinheiro estará na sua conta na manhã seguinte, antes da hora que você pretende tomar o veneno, hora em que você também pode decidir não beber o veneno, e ele não vai pedir o dinheiro de volta. Mas você terá realmente que ter a intenção de beber o veneno (de alguma forma o ricaço saberá se você tem mesmo a intenção, então você não poderá enganá-lo).

Parece algo simples, mas Kavka sugere que, sabendo que você pode voltar atrás, fica impossível alguém realmente ter a intenção de beber o veneno.

Imagine uma “gêmea” da Terra em algum lugar do universo. Ela é totalmente idêntica à nossa em todos os aspectos: orbita o mesmo tipo de estrela, que recebe o mesmo nome de “sol”, tem a mesma história, e tem um “gêmeo” de cada pessoa viva. A única diferença é que não há água na Terra Gêmea, em vez disso há um líquido alternativo que não é H2O (digamos, “XYZ”) que é fundamentalmente diferente ao nível molecular.

Neste planeta gêmeo, o XYZ sempre foi o substituto da água, e eles até mesmo o chamam de água. A questão é, quando uma pessoa da Terra Gêmea se refere a XYZ como água, e uma pessoa se refere a H2O como água, qual dos dois está correto? O que dita qual é a água verdadeira, a experiência dos observadores nos dois planetas (que é idêntica) ou a composição química? E se a composição química ainda não tiver sido determinada, como determinar qual é a água verdadeira?